AM是三角形ABC边上的中线，AB⊥AD且AB=AD,AC⊥AE且AC=AE,连DE。①求证：CD

Question

AM是三角形ABC边上的中线，AB⊥AD且AB=AD,AC⊥AE且AC=AE,连DE。①求证：CD⊥BE。②DE=2AM

Answer 1

证明：

（1）

设AB与CD交于O，BE与CD交于P

∵AB⊥AD，AC⊥AE

∴∠BAD=∠CAE=90°

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC

即∠DAC=∠BAE

又∵AD=AB，AC=AE

∴△DAC≌△BAE（SAS）

∴∠ADC=∠ABE

∵∠AOD=∠POB（对顶角相等）

∴∠OPB=∠OAD=90°

即CD⊥BE

（2）

延长BA到N，使AN=AB，连接CN

∵AM是△ABC的中线，即BM=CM

∴AM是△BCN的中位线

∴CN=2AM

∵∠BAD+∠CAE=90°+90°=180°

∴∠BAC+∠DAE=180°

∵∠BAC+∠CAN=180°

∴∠DAE=∠CAN

又∵AD=AN，AE=AC

∴△DAE≌△NAC（SAS）

∴DE=CN=2AM