如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM

Question

如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM．

Answer 1

解答：证明：延长AM至N，使MN=AM，连接BN，
∵点M为BC的中点，
∴CM=BM，
在△AMC和△NMB中

AM＝MN ∠AMC＝∠NMB CM＝BM

∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC=BN，∠C=∠NBM，
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD，
在△EAD和△ABN中
∵

AE＝AB ∠EAD＝∠ABN AD＝BN

，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴DE=AN=2MN．

Answer 2

解答：证明：延长AM至N，使MN=AM，连接BN，
∵点M为BC的中点，
∴CM=BM，
在△AMC和△NMB中

AM＝MN
∠AMC＝∠NMB
CM＝BM
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC=BN，∠C=∠NBM，
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD，
在△EAD和△ABN中
∵

AE＝AB
∠EAD＝∠ABN
AD＝BN ，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴DE=AN=2MN．
相似三角形判定定理：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。）
判定定理4：两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。SSS）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。

Answer 3

解答：证明：延长am至n，使mn=am，连接bn，
∵点m为bc的中点，
∴cm=bm，
在△amc和△nmb中
am＝mn
∠amc＝∠nmb
cm＝bm
∴△amc≌△nmb（sas），
∴ac=bn，∠c=∠nbm，
∵ab⊥ae，ad⊥ac，
∴∠eab=∠dac=90°，
∴∠ead+∠bac=180°，
∴∠abn=∠abc+∠c=180゜-∠bac=∠ead，
在△ead和△abn中
∵
ae＝ab
∠ead＝∠abn
ad＝bn
，
∴△abn≌△ead（sas），
∴de=an=2mn．