利用高斯公式的方法计算积分 ，其中 是球面 在 第一卦限部分的上侧。

Question

题目如图，求过程。

Answer 1

首先高斯公式要求积分曲面是闭曲面，所以先取球面∑和三个坐标平面xoy，yoz，xoz组成闭曲面∑‘，注意在这三个坐标平面上，分别有x=y=0，y=z=0，z=x=0，因此被积函数xyz在这三个平面上的积分都等于0，故xyz在∑上的积分等于在∑’上的积分。根据高斯公式，P=Q=0，R=xyz，R'z=xy，故在∑‘上的积分=∫∫∫xydxdydz，积分区域为x^2+y^2+z^2=1和三个坐标平面在第一卦限内所围的立体。用球坐标计算这三重积分，由于x=rsinφcosθ，y=rsinΦsinθ，积分=∫sinθcosθdθ∫(sinφ)^3dφ∫r^4dr（其中r积分限0到1，φ和θ的积分限都是0到π/2），计算后等于1/15。追问

- - 直接过程给我就好了

追答

还要什么过程呢，这么写就可以啊

追问

不是应该没那么多文字的吗- -

追答

没用的文字你自己去了不就得了。。。

追问

- - 不知道什么该去什么不该去， 你弄出来 ， 10分就给你了

追答

无语。。。取球面∑和三个坐标平面xoy，yoz，xoz组成闭曲面∑‘，由于在这三个坐标平面上xyz=0，故被积函数xyz在这三个平面上的积分都等于0，xyz在∑上的积分等于在∑’上的积分。根据高斯公式，P=Q=0，R=xyz，R'z=xy，故在∑‘上的积分=∫∫∫xydxdydz，积分区域为x^2+y^2+z^2=1和三个坐标平面在第一卦限内所围的立体。用球坐标计算这三重积分，由于x=rsinφcosθ，y=rsinΦsinθ，积分=∫sinθcosθdθ∫(sinφ)^3dφ∫r^4dr（其中r积分限0到1，φ和θ的积分限都是0到π/2）=1/15。