圆柱面x^2+y^2=4x与旋转抛物面2z=x^2+y^2及平面z=0所围成的体积

Question

如题所述

Answer 1

^作变换x=rcosu,y=rsinu,设D：x^2+y^2<=ax(a>0),

旋转抛物面z=x^2+y^2,平面z=0与圆柱面x^2+y^2=ax所围立方体的体积

=∫∫<D>(x^2+y^2)dxdy

=∫<-π/2，π1653/2>du∫<0,acosu>r^3dr

=∫<-π/2，π/2>(1/4)(acosu)^4du

=(a^4/8)∫<0,π/2>(1+cos2u)^2du

=(a^4/8)∫<0,π/2>(1+2cos2u+cos^2u)du

=(a^4/8)∫<0,π/2>[3/2+2cos2u+(1/2)cos4u]du

=3πa^4/32。

扩展资料

计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2）dxdydz 其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域中过程的疑问图形应该是一个圆柱体,为什么Z的范围不是从0到2,而是如过程所示

注意：圆柱体的方程是x^2 + y^2 = a^2的形式；

而本题的方程是x^2 + y^2 = 2z,是个抛物面,看清楚了；

图形的底是抛物面z = (x^2 + y^2)/2 = ρ^2/2,不是0喔,不然的话真是变为圆柱体了；

而顶部是z = 2；

所以范围是ρ^2/2变到2。