来大神看一下这题不定积分三角代换

第19题。。英文版有点坑但估计还能做

推荐答案 2015-01-05

令x＝asinu，则：
tanu＝sinu/√［1－（sinu）^2］＝（x/a）/√［1－（x/a）^2］＝x/√（a^2－x^2），
dx＝［a/（cosu）^2］du。
∴∫［1/（a^2－x^2）^（3/2）］dx
＝（1/a^3）∫（cosu）^3·［a/（cosu）^2］du
＝（1/a^2）∫cosudu
＝（1/a^2）sinu＋C
＝（1/a^2）x/√（a^2－x^2）＋C。

∴∫（上限为a/2，下限为0）［1/（a^2－x^2）^（3/2）］dx
＝（1/a^2）x/√（a^2－x^2）｜（上限为a/2，下限为0）
＝（1/a^2）（a/2）/√［a^2－（a/2）^2］－0
＝（1/a）/√（4a^2－a^2）
＝√3/（3a^2）。

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