定积分三角替代疑问

Question

定积分三角替代疑问我知道做题的方法，是根据什么确定t的范围的就是用第二类换元法做不定积分的题目的时候代换x 令 x=asint x=atant x=asect 等等，但是不知道如何确定t的范围 下图 老师说sect的范围是0到π/2 但是下面的题的2/3 π和3/4 π如何得到的，能用草稿写一下原理吗谢谢

Answer 1

原来x的区间为-2到sqrt(2)，令x=sect，反推t的取值范围！cost=1/x

追问

我们老师说sect中t的范围是0到π/2所以我很困惑这一点 按照这个范围不应该是不能用三角替代吗

还是这个范围有问题吧

追答

具体问题具体分析，你不要区间都看教科书，你的图片是有前提的，x不同，t就不同
x的区间为-2到sqrt(2)，令x=sect，反推t的取值范围！cost=1/x
t=arccos(1/x)
例如：x=-2，那么t=arccos(-1/2)=pi-pi/3=2/3*pi

追问

是不是保证sect在一个周期内就可以了

追答

这个与sect没有关系，关键是看x的取值范围

追问

好的 是不是只要两个点反推出t 不论t取什么值都可以吗

追答

如果x不在一个周期（例如超过1个周期），需要分段积分，从而反推出t的区间
如果x在一个周期，直接反推出t。

Answer 2

这是一个瑕积分。求值需要用极限逼近。 0是奇点，左右两端都需要逼近。 因此，这个积分的值是不存在的，不过适才算出的0，应该算是这个瑕积分的Cauchy主值（Principle Value？）追问

不论瑕积分 我想知道sect中t的取值范围是如何知道如图的 很疑惑这一点

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