不定积分三角代换时怎么确定取值范围

Question

就是用第二类换元法做不定积分的题目的时候代换x 令 x=asint x=atant x=asect 等等。我知道做题的方法，但是不知道怎麼确定t的范围，是根据什麽确定t的范围的。求指点:)
谢谢谢谢谢～

Answer 1

不定积分三角代换时确定取值范围的方法：
1、如果原来的积分方式为x=a到x=b，可以选择在这个范围内自变量θ单调的三角代换x=f(θ)，比如x=sinθ。

2、分别令f(θ)=a,b,解出来θ=g(a)和g(b)，那么新的积分变量θ的范围就是g(a)到g(b)。

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。根据牛顿——莱布尼兹公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

Answer 2

一般来说，sint和cost都不用讨论范围，因为都是正数
t∈[- π/2，π/2]
但是sect和csct就要了
当x > a时，t∈[0，π/2)，|tant| = tant

当x < - a时，t∈(π/2，π]，|tant| = - tant

Answer 3

令 x=asint x=atant x=asect ,其中t的范围是-π/2至π/2，然后将积分的上下限分别代入x=asint x=atant x=asect ，求得t的范围。

Answer 4

要保证你的三角函数在你所变换后的t的范围内是单调的

Answer 5

因为sint,cost的取值都在-1到1之间所以，这两个的取值范围为哪都无所谓，但是对于√x²－a²来说x=asect,根号里面化简成a²tan²x,a²显然大于等于0，tanx大于等于0的范围就在（0，π/2）（π，3π/2）了