矩阵的n次方收敛
一个方阵，每一行元素和为1，且元素皆非负。主对角线元素的值都大于0.8。
这样一个方阵的n次方，在n趋向于很大时，收敛到一个矩阵，矩阵的每一列内的元素都相等。
我想知道的是，给定一个第一段所述的方阵，它收敛的方阵里，列与列之间元素的值是不是几乎相等。怎么证明。
举个例子，一个二阶方阵
0.8 0.2
0.2 0.8
取很多次方以后收敛到下面的
0.5 0.5
0.5 0.5
没有这样的结论
比如说
0.8 0.2 0
0.1 0.9 0
0 0 1
的极限就是
1/3 2/3 0
1/3 2/3 0
0 0 1
可以得到的一般结论是，如果A是不可约随机矩阵，那么A^n->ex^T
其中e=[1,...,1]^T是A关于1的特征向量，x是A^T关于1的特征向量（归一化到x^Te=1）
除非A的列和也是1（即x=e），否则一般来讲是不可能推出你说的结论的追问
比如说
0.8 0.2 0
0.1 0.9 0
0 0 1
的极限就是
1/3 2/3 0
1/3 2/3 0
0 0 1
可以得到的一般结论是，如果A是不可约随机矩阵，那么A^n->ex^T
其中e=[1,...,1]^T是A关于1的特征向量，x是A^T关于1的特征向量（归一化到x^Te=1）
除非A的列和也是1（即x=e），否则一般来讲是不可能推出你说的结论的追问
多谢。
我的问题就是现在A是您所说的不可约随机矩阵，A^n->ex^T。
现在问题就是想知道x中的各个元素的差是不是非常小。
我自己试了很多个例子，感觉上x的各个元素的差基本上和1/N是一个数量级，N是A的行/列数。
请问存在一个类似这样的一般结论吗？
既然极限由x唯一确定，那么把x算出来就知道了
仅有不可约随机阵这一个条件事先没有办法对x进行估计
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2015-08-12
早上起来试试看，先睡了追问
多谢，明天静候。
追答
用MATLAB试了一下，的确存在这种规律，随着幂指数的增加，B矩阵里的元素越来越相近
当然，如果第一行跟第二行不一样的话，就会出现这种结果，当然也是收敛的
当然，这些都没有0和1
等我想想怎么证明
同样的结论，对于三阶方阵也成立
前提是，任何一行或一列元素都是相同的，并且和为1
追问是的，比如以下的例子
这个方阵，收敛结果是（每行都是）
0.1831 0.1127 0.1408 0.1268 0.1408 0.1127 0.1831
不全都相等吧，但是差不多。怎么判断一个类似n这样的矩阵，它收敛后，行与行之间差距很小呢？
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