设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，c1，c2是任意常数

Question

设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（　　）A．c1y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2-（c1+c2）y3C．c1y1+c2y2-（1-c1-c2）y3D．c1y1+c2y2+（1-c1-c2）y3

Answer 1

因为：y₁，y₂，y₃线性无关，
所以：y₁-y₃，y₂-y₃是线性无关的．
又因为：函数y₁，y₂，y₃都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，
所以：c₁（y₁-y₃）+c₂（y₂-y₃）是y″+p（x）y′+q（x）y=0的通解，
根据二阶线性非齐次微分方程的结构可知：
c₁（y₁-y₃）+c₂（y₂-y₃）+y₃=c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃是y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的通解，
故选：D．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

很多答案都不全，主要是没说明为什么y1-y3这些是齐次解，而且线性无关，你尝试把y1y2y3都带入非齐次方程，得到三个方程，把三个非齐次方程的任意两个相减，得到一个齐次方程，根据线性方程解的叠加原理，y1-y3是新的齐次方程的通解