高数，求旋转体体积

Question

绕y轴旋转，法一和法二是的dV是怎么求的，不太理解，求详细图解

Answer 1

法 1.   是 柱壳法 ：原理如下图 ：

对于本题，上半圆方程是 y = √(2x-x^2) = √[1-(x-1)^2],  

令 x = 1+sint，  则 dx = costdt,  由对称性，得

(1/2)V = 2π∫<0, 2>x√(2x-x^2)dx 

= 2π∫<-π/2, π/2>(1+sint)(cost)^2dt 

= 2π∫<-π/2, π/2>(cost)^2dt + 2π∫<-π/2, π/2>sint(cost)^2dt

= π∫<-π/2, π/2>(1+cos2t)dt - 2π∫<-π/2, π/2>(cost)^2dcost

= π[t+(1/2)sin2t-(2/3)(cost)^3]<-π/2, π/2> = π^2,

V = 2π^2

法 2.   是常规方法。圆方程是 (x-1)^2+y^2 = 1

右半圆方程是 x = 1+√(1-y^2) ,  左半圆方程是 x = 1-√(1-y^2) 

令 y = sinu，  则 dy = cosudu,    由对称性,  得

(1/2)V = π∫<0, 1>{[1+√(1-y^2)]^2 - [1-√(1-y^2)]^2}dy 

= 4π∫<0, 1>√(1-y^2)dy = 4π∫<0, π/2>(cosu)^2du

= 2π∫<0, π/2>(1+cos2u)du = 2π[u+(1/2)sin2u]<0, π/2>= π^2

V = 2π^2.

Answer 2

始终把它当做圆柱体来求，那么圆柱体的体积等于πr²h
当绕y轴旋转时，半径显然就是曲线上的点的横坐标x。(和绕x轴旋转，r是纵坐标y一样),而h就是切分的dy
所以，单位圆柱体体积dV=πx²dy.
但显然，这里是有两段线段组成，
分别是x=1+√1-y²,x=1-√1-y²
两条线组成。
所以应该是这两条线围城体积之差。
所以dV=π(x1²-x2²)dy追答

望采纳…

Answer 3

利用微元法，并用平行截面已知求体积的方法。dv=A(x)dx，把它当做圆柱体来求，那么圆柱体的体积等于πr²h
当绕y轴旋转时，半径显然就是曲线上的点的横坐标x。(和绕x轴旋转，r是纵坐标y一样),而h就是切分的dy
所以，单位圆柱体体积dV=πx²dy.
但显然，这里是有两段线段组成，
分别是x=1+√1-y²,x=1-√1-y²
两条线组成。
所以应该是这两条线围城体积之差。，所以dV=π(x1²-x2²)dy。

Answer 4

把两边积分回去看看。左边积分是V