抛物线y=x^2上p点处的切线与直线3x-y+1=0所成的角45度，求点的坐标。急

Question

如题所述

Answer 1

3x-y+1=0，即y=3x+1，设y=3x+1与x轴夹角为α，则tanα=1/3
设过p点的切线与x轴夹角为β，直线方程为y=kx+b，则有k=tanβ
由已知|α-β|=45°
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ)=±1，即1/3-tanβ=1+1/3*tanβ或1/3-tanβ=-1-1/3*tanβ
解得tanβ=-1/2 或 tanβ=2，即k=2或-1/2

当k=2时，切线方程为y=2x+b，与抛物线y=x²仅有一个交点，那么2x+b=x²即x²-2x-b=0有且仅有一个实数根，所以Δ=4+4b=0，b=-1，此时x²-2x-b=0的解为x=1（即P点横坐标为1）
所以切线方程为y=2x-1，代入P点横坐标x=1，得y=1，所以P点为（1,1）
同理，
当k=-1/2时，，切线方程为y=-1/2 x+b，与抛物线y=x²仅有一个交点，那么-1/2 x+b=x²即x²+1/2 x-b=0有且仅有一个实数根，所以Δ=1/4+4b=0，b=-1/16，此时x²+1/2x-b=0的解为x=-1/4（即P点横坐标为-1/4）
所以切线方程为y=-1/2 x-1/16，代入P点横坐标x=-1/4，得y=1/16，所以P点为（-1/4,1/16）

综上符合条件的P点有两个：（1,1）（-1/4,1/16）

Answer 2

根据两直线夹角的公式
tanA=|（k2-k1）/1+k1k2|
|(k-3)/(1+3k)|=1
k-3=1+3k或3-k=1+3k
k=-2或k=1/2
y'=2x=-2或y'=2x=1/2
x=-1或x=1/4
y=1或y=1/16
点的坐标为(-1,1)或(1/4,1/16)

Answer 3

两直线的夹角有tanθ=|(k1-k2)/(1+k1k2)| 设p点的切线的斜率为k，可得：
|(k-3)/(1+3k)|=1
解得：k=-2 或k=1/2
当k=-2时有：
y'=2x 即：-2=2x 解得：x=-1
得：y=x^2=1
此时p点坐标为(-1,1)
当k=1/2时有：
y'=2x 即：1/2=2x 解得：x=1/4
得：y=x^2=1/16
此时p点坐标为(1/4,1/16)本回答被网友采纳

Answer 4

解：
∵点P在抛物线y=x²上，
∴可设P(p, p²)
易知，抛物线y=x²上的过点P的切线方程为
y+p²=2px.
即2px-y-p²=0.
∴两条直线的斜率分别为2p和3,
由题设可得：
|(2p-3)/(1+6p)|=1
解得：p=-1或p=1/4
∴P(-1,1)或P(1/4, 1/16)

Answer 5

let P(x,y)
y=x^2
y' =2x
slope of tangent at P = 2x =m1
3x-y+1=0
y=3x+1
slope of line m2 = 3
tan45度 = (m1-m2)/(1+m1m2)
1=(2x-3)/(1+6x)
1+6x=2x-3
x=-1
y = 1
P(-1,1)