定积分的几道题

Question

如图，求大神给过程，谢谢

Answer 1

1、将积分分为两部分，前一部分x^3为奇数，根号下为偶函数，因此积分为0，积分剩下
4∫ √(9-x^2)dx
这是填空题，教你个简单方法，用定积分的几何意义，y=√(9-x^2)为上半圆，本题就是求上半圆的面积，结果为4*π*3^2/2=18π

2、周期函数在满一个周期内积分结果是一样的，∫[1-->1+T] f(x)dx=∫[0-->T] f(x)dx=1
∫[1-->1+2007T] f(x)dx=2007∫[1-->1+T] f(x)dx=2007

3、∫(sinx)^7 dx
=-∫(sinx)^6 dcosx
=-∫(1-(cosx)^2)^3 dcosx
=-∫(1-3(cosx)^2+3(cosx)^4-(cosx)^6) dcosx
=-cosx+(cosx)^3-3/5(cosx)^5+1/7(cosx)^7 将上下限代入
=1-1+3/5-1/7
=16/35

本题也可直接套公式：6!!/7!!=16/35

4、∫[0-->π] (sinx)^10dx
=∫[0-->π/2] (sinx)^10dx+∫[π/2-->π] (sinx)^10dx
后一个变量代换，x=t+π/2
=∫[0-->π/2] (sinx)^10dx+∫[0-->π/2] (sin(t+π/2))^10dt
=∫[0-->π/2] (sinx)^10dx+∫[0-->π/2] (sint)^10dt
=2∫[0-->π/2] (sinx)^10dx
然后套公式
=2*9!!/10!!*π/2