如何证明三角形的三条中线相交于一点

Question

如题所述

Answer 1

在△ABC中，BD为AC中线，CE为AB中线，BD、CE交于点O，证BC的中线AF过点O；

延长AO交BC于F'，作BG平行EC交AO延长线于G，则因E为AB中点,所以O为AG中点；

连接GC,则在三角形AGC中，OD是中位线，BD平行GC，所以BOCG为平行四边形；

F'平分BC，F'与F重合。BC的中线AF过点O。

扩展资料：

三角形中线的性质：

1、三角形中中线的交点为重心，重心分中线为2：1（顶点到重心：重心到对边中点）。

2、在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半。

3、任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。

Answer 2

数学一分钟 证明三角形的三条中线交于一点 孟孟数学老师

Answer 3

证明三角形的三条中线交于一点：

三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB,BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形。

以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。

拓展资料

三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。由定义可知，三角形的中线是一条线段。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

参考资料：百度百科-三角形中线

Answer 4

方法1：
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。

方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）
AO*AD<AE*AC （点D在圆COE内）
结合(4),得出矛盾，故角BDA不小于90度。
同理可证角BDA也不大于90度。
故角BDA＝90度。即AD为高。本回答被提问者和网友采纳