【三角形的三条中线交于一点】
设在△ABC中，BD、CE分别是AC和AB边的中线，BD和CE交于O，连接AO并延长交BC于F，求证AF是BC边的中线。
证明：
作BG//EC，交AF的延长线于G，连接CG。
∵BG//EC，
∴AE/BE=AO/OG，
∵CE是AB边的中线，即AE=BE，
∴AO=OG，
∵BD是AC边的中线，
∴OD是△AGC的中位线，
∴OD//GC，
∴四边形OBGC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴BF=CF（平行四边形对角线互相平分），
∴AF是BC边的中线。
证明三角形的三条中线交于一点：
三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB,BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形。
以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
拓展资料
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。由定义可知，三角形的中线是一条线段。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
参考资料：百度百科-三角形中线
本回答被网友采纳在△ABC中，BD为AC中线，CE为AB中线，BD、CE交于点O，证BC的中线AF过点O；
延长AO交BC于F'，作BG平行EC交AO延长线于G，则因E为AB中点,所以O为AG中点；
连接GC,则在三角形AGC中，OD是中位线，BD平行GC，所以BOCG为平行四边形；
F'平分BC，F'与F重合。BC的中线AF过点O。
三角形中线的性质：
1、三角形中中线的交点为重心，重心分中线为2：1（顶点到重心：重心到对边中点）。
2、在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半。
3、任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。
本回答被网友采纳X,Y分别是BC,AC的中点,所以XY=DE,所以,四边形DEXY为平行四边形,所以
GD=DA=GX,GY=GE=EB,
所以
AG∶GX=2∶1,BG∶GY=2∶1．
同理,若BY与CZ相交于一点G′,必有
BG′∶G′Y=2∶1,G′C∶G′Z′=2∶1,
所以G′与G重合．所以三角形三条中线相交于一点