如何证明正交矩阵的特征值为1或-1

Question

如题所述

Answer 1

设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量

即有 Ax = λx，且 x≠0。

两边取转置，得 x^TA^T = λx^T

所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx

因为A是正交矩阵，所以 A^TA=E

所以 x^Tx = λ^2x^Tx

由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数

故 λ^2=1

所以 λ=1或-1

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

扩展资料：

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量。

任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。

参考资料来源：百度百科——正交矩阵

Answer 2

设λ是正交矩阵A的特征值, x是A的属于特征值λ的特征向量
即有 Ax = λx, 且 x≠0.
两边取转置, 得 x^TA^T = λx^T
所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx
因为A是正交矩阵, 所以 A^TA=E
所以 x^Tx = λ^2x^Tx
由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数
故 λ^2=1
所以 λ=1或-1.本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

这题目是错的，楼上也在反复用错误的回答坑人
http://zhidao.baidu.com/question/415771698.html