为什么3阶正交矩阵必有一个实特征根,这个根为1或-1

Question

如题所述

Answer 1

有实特征根是因为，他的特征多项式是3次的，任意奇数次多项式都有实根。
由A正交有，A'=A逆(A'表示转置)
那么有
|A|=|A’|=|A逆|=1/|A|
所以|A|²=1，|A|=±1
若|A|=1,那么1是A的一个特征值
这是因为
|E-A|=|AA'-A|
=
|A||A'-E|
=
|(A-E)'|
=
|A-E|=(-1)³|E-A|=-|E-A|
这说明1是A的特征根。
同理|A|=-1,可以推出-1是A的特征根
综上有实根为1或者-1

Answer 2

可以证明如果a是正交矩阵的特征根，则a的倒数也是，又因为是3阶，肯定有一个特征根的倒数是它自己

Answer 3

你举个正交矩阵　利用特征多项式求特征值　　　　正交矩阵的行列式值为1、-1