证明任何正交矩阵的实特征值要么是1要么是-1

如题所述

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第1个回答 2022-08-15

设矩阵为A(ij)
由于是正交矩阵AA(T)=I
所以A(T)=A(-1) ((T)为矩阵转置,(-1)为矩阵的逆
设A的特征值为λ(n),则A(T)的特征值为λ(n)
A(-1)的特征值为1/λ(n)
因为A(T)=A(-1) λ(n)=1/λ(n)
λ(n)^2=1
λ(n)要么是1,要么是-1

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求大家帮我解个题目。证明正交实矩阵A的特征值为1或-1.谢谢大家给个详 ...答：实正交阵的实特征值只能是1或-1 正交阵的行列式只能是1或-1 事实上实正交阵的特征值在单位圆周上，共轭虚根成对出现并且反过来只要同时满足以上两条的任何有限个复数就一定可以作为某个实正交阵的特征值

证明:如果正交矩阵有实特征值,则其特征值只能是1或-1.答：【答案】：设A的实特征值为λ，A的属于λ的特征向量为考，则Aξ=λξ，且ξTξ≠0．∵A为正交矩阵，ATA=E．由(Aξ)T(Aξ)=(λξ)T(λξ)，即ξT(ATA)ξ=λ2ξTξ，ξTξ=λ2ξT，∵λ2=1，λ∈R，即λ=±1．故正交矩阵的实特征值只能是-1或1．

正交矩阵的特征值只能是1或-1答：一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).另一方面,(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα = α^Tα = (α,α).所以有 λ^2(α,α) = (α,α).又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0.所以 λ^2 = 1.所以 λ = ±1.即正交矩阵的特征值只能是1或-1 ...

正交矩阵的特征值一定为1吗?答：一定等于1或-1。证明如下：设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量，即有 Ax = λx,且 x≠0。两边取转置，得 x^TA^T = λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx，因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E，所以 x^Tx = λ^2x^Tx，由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数，故 λ...

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