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    • 证明正交实矩阵A的特征值为1或-1.

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    推荐答案   2019-09-02
    证:设A是正交矩阵,λ是A的特征值,α是A的属于λ的特征向量
    则 A^TA = E (E单位矩阵),Aα=λα,α≠0
    考虑向量λα与λα的内积.
    一方面,(λα,λα)=λ^2(α,α).
    另一方面,
    (λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα
    = α^Tα = (α,α).
    所以有 λ^2(α,α) = (α,α).
    又因为 α≠0,所以 (α,α)>0.
    所以 λ^2 = 1.
    所以 λ = ±1.
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