用正交变换,将二次型f=x1^2+x2^2+x^3+4x1x2+4x1x3+4x2x3化为标准型

Question

如题所述

Answer 1

令y1=x1+x2+x3，y2=x1-2x2+x3，y3=x1-x3

则f=(5/3)y1^2-(1/6)y2^2-(1/2)y3^2

y1=x1+x2+x3

y2=x1-2x2+x3

y3=x1-x3

线性变换求特征值|I*x-A|=0：x1=-2；x2=1；x3=4

x*P=A*P；求特征向量；P1=［-2/3-1/3-2/3］^T；P2=［1/32/3-2/3］^T；P3=［2/3-2/3-1/3］^T

等价刻画：

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价

1、σ是正交变换；

2、σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；

3、如果ε1,ε2,...,εn是标准正交基，那么σ(ε1),σ(ε2),...,σ(εn)也是标准正交基；

4、σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

Answer 2

具体回答如下：

令y1=x1+x2+x3，y2=x1-2x2+x3，y3=x1-x3

则f=(5/3)y1^2-(1/6)y2^2-(1/2)y3^2

y1=x1+x2+x3

y2=x1-2x2+x3

y3=x1-x3

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

扩展资料：

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种。对一个由空间投射到同一空间的线性转换，如果转换后的向量长度与转换前的长度相同，则为正交变换。

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，σ是正交变换；σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨。

如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基；σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

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Answer 3

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