微积分证明题

Question

证明：若limAn=a,则lim|An|=|a|,但反之不正确，试举例说明。但a=0时，反之也成立，试证明之。

Answer 1

【一】证明：若limAn=a,则lim|An|=|a|.
证明：
① 对任意 ε>0
由：lim(n->∞) an = a , 对此ε>0 ,存在 N∈Z+ ，当 n>N 时,恒有：|an-a|<ε ,
又：||an|-|a||< |an-a| 【三角不等式】 ，故：
② 存在 N∈Z+，
③ 当 n>N 时，
④ ||an|-|a||< |an-a|< ε 恒成立。
∴lim(n->∞) |An|=|a|。

反例：an=(-1)^n a= -1 ,且：lim | (-1)^n | = |-1|

【二】证明：a=0时，若lim|An|=|a|, 则limAn=a。
证明：
① 对任意 ε>0
由：lim(n->∞) an = 0 , 对此ε>0 ,存在 N∈Z+ ，当 n>N 时,恒有：|an-0|=|an|<ε ,从而：
② 存在 N∈Z+，
③ 当 n>N 时，
④ ||an|-|0|| = |an-0|< ε 恒成立。
∴lim(n->∞) an=0 。