设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1;
G'(k)不应该等于[f'(k)-1]e^x+[f(k)-k]e^x吗?怎么中间的加号您写成减号了呢?
追答呵呵。。。没注意,修改如下:
设G(x)=[f(x)-x]/e^x,则
G(0)=f(0)-0=0又G(n)=[f(n)-n]/e^n=0
所以,G(0)=G(n)
由罗尔定理,存在k属于(0,n),使得G'(k)={[f'(k)-1]e^x-[f(k)-k]e^x}/e^(2x)=0
即存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1
这种辅助函数的构造方法是怎么想出来的啊,求赐教,或者有什么好的辅导书有这类的题的方法讲解啊?
追答这种构造方法很典型也常见,充分利用e^x这个函数的导数仍是本身。陈文灯编的一本考研复习全书或者李永乐、李正元编的考研复习全书对于这方面的题证明方法总结比较好。