微积分题的证明

Question

设f(x)在[a,b]上一阶可导，在(a,b)内二阶可导，且满足f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0。试证明存在d属于(a,b)使f(d)=f''(d)
参考答案上只有提示，说是两次构造函数，先设F(x)=f(x)e^(-x)，再设G(x)=F(x)e^x，用罗尔定理。。。但是依然没思路啊。。。

Answer 1

下面两种方法
证明1
先用反证法证明存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0

若不存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0,则在区间(a,b)内恒有f(x)>0(或f(x)<0)

不妨假设恒有f(x)>0,x∈(a,b)则

f'(b)=(x→b-)lim[f(b)-f(x)]/(b-x)=(x→b-)lim[-f(x)]/(b-x)≤0......①

f'(a)=(x→a+)lim[f(x)-f(a)]/(x-a)=(x→a+)limf(x)/(x-a)≥0......②

则f'(a)f'(b)≤0这与题设矛盾,因此必存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0

可知g(x)=f(x)e^(-x)在[a,θ]及[θ,b]上满足罗尔定理

则存在θ1∈(a,θ),θ2∈(θ,b)使得g'(θ1)=g'(θ2)=0

由于g'(x)=[f(x)-f'(x)]e^(-x),得f(θ1)-f'(θ1)=0,f(θ2)-f'(θ2)=0

再记F(x)=[f(x)-f'(x)]e^x,则易知F(x)在[θ1,θ2]满足罗尔定理

则存在d∈(θ1,θ2),使得F'(d)=0

又F'(x)=[f'(x)-f“(x)+f(x)-f'(x)]e^x=[f(x)-f"(x)]e^x

即有f(d)-f"(d)=0得证.

证明2
http://zhidao.baidu.com/question/334688993.html

Answer 2

f'(a)f'(b)>0
不妨设f'(a)>0 ，f'(b)>0
易知存在一点x=c使得f(c)=0.(在x=a的右邻域f(x)>0,在x=b的左邻域f(x)<0)追问

显然把题目看错了吧……