高中数学，函数证明

Question

如题所述

Answer 1

不难看出这个图形关于x轴对称，所以只要证明x轴上方的面积大于π/2即可。
在x轴上方，y=√(1-x^4)，与x轴有两个交点(-1,0)和(1,0)，所以x从-1到1积分就是所求面积。
而单位圆的上半圆周是y=√(1-x²)，与x轴交点也是(-1,0)和(1,0)，那么x从-1到1积分就是上半圆周的面积，即π/2
很显然，当x∈[-1,1]时，√(1-x^4)≥√(1-x²)≥0，并且两个函数不恒等，所以从-1到1积分时，有∫√(1-x^4)dx>∫√(1-x²)dx=π/2，即上半部分的面积大于π/2，原命题得证。

Answer 2

待续，我正在努力续写

追答

供参考。

Answer 3

x=0,y=+1、-1
y=0,x=+1,-1
在横轴和纵轴都有两个交点，肯定是个封闭图形，
x0^4=1-y^2
x1^2=1-y^2
x1^4=(1-y^2)^2<=1-y^2=x0^4

所以对于同一个x值，|x1|< |x0|
所以x^2+y^2=1被x^4+y^2=1包含在内，所以肯定比π大！|

Answer 4

曲线显函数y1=(1-x^4)^1/2,而圆的函数y2=(1-x^2)^1/2.在(0，1)内y1大于y2,又有对称性可知，面积大于圆

Answer 5

首先需要二项式定理：
（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）
用数学归纳法证此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
 a+b
 故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，（式一）成立 ，即：
（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）
则，当n=n1+1时:
式二两端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
=> (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)

因此二项式定理（即式一成立）
下面用二项式定理计算这一极限：
（1+1/n）^n （式一）
用二项式展开得：
（1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与（1/n）的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与（1/n）的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n -> +∞,得0。因此总的结果是当n -> +∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与（1/n）的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
（1+1/n）^n =1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+ … + 1/n！ （式二）
当n -> +∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
补充：
将式二和公比为1/2的等比数列比较，其每一项都小于此等比数列，而此等比数列收敛，因此，式二必定收敛于一固定数值。本回答被网友采纳