过定点P(2,1)作直线L,分别与x轴,Y轴正向交于A,B两点,求使三角形AOB面积最小时的直线方程.

Question

如题所述

Answer 1

设直线L斜率为k，方程为y-1=k(x-2)，即y=kx-2k+1
y=0时，x=(2k-1)/k,则直线L与x轴交点为[(2k-1)/k,0]
x=0时，y=1-2k,则直线L与Y轴交点为(0,1-2k)
∵直线L,分别与x轴,Y轴正向交于A,B两点,
则k＜0，
∴(2k-1)/k＞0，1-2k＞0
∴三角形AOB面积=1/2×[(2k-1)/k]×（1-2k）=-1/2×（4k^2-4k+1)/k=-2k+2-1/2k=2(-k-1/k)+2
∵k＜0
则-k＞0
1/k＞0
-k+(-1/k)≥2√[-k×(-1/k)]=2
三角形AOB面积=2(-k-1/k)+2≥2×2+2=6
∴-k=-1/k时即k=1(舍去）或k=-1时
三角形AOB面积有最小面积6。
此时直线L方程为y=-x+3