过定点P(2,1)作一直线l分别与x，y轴正向交与A,B两点，求使△AOB面积最小时的线性方程

Question

如题所述

Answer 1

ls错了，有最小面积的。
经过p的l直线y=ax+b，过（2，1），则y=ax+1-2a
由于该直线于x、y轴为正相交，则a<0（这是重要条件）
则x=0时，y=1-2a，y=0时，x=（2a-1）/a，
三角形AOB面积最小，即令（1-2a）（2a-1）/a最小即可。（根据面积公式计算）
通过化简得到令4-（4a+1/a）最小，即令4a+1/a最大。
由于a<0，令4a=1/a，解得a=-1/2（a=1/2忽略），此时4a+1/a=-4
通过取点验算，a处于a<-1/2和-1/2<a<0的范围时，4a+1/a的数值都小于-4
因此取a=-1/2时，三角形AOB面积最小，面积为
（1-2a）（2a-1）/2a=4

Answer 2

△AOB面积最小 没法求，应该是求使△AOB面积最大时的线性方程。

利用均值不等式，a^2+b^2>=2ab, 取等条件a=b.
△AOB面积=|AO|*|BO|/2=<(|AO|^2+|BO|^2)/4, 取等条件 |AO|=|BO|。
故，△AOB面积最大时|AO|=|BO|=m>0. ==> A(m,0),B(0,m).
A,B,P同线，斜率相等==> k=(1-0)/(2-m)=(1-m)/(2-0).
==> m=3(舍去m=0), k=-1.
==> 线性方程l; y-1=k(x-1), 即 x+y-2=0.