证明:对任意两个随机事件A,B,有P(AB)P(A∪B)≤P(A)P(B) 请写出详细步骤

Question

如题所述

Answer 1

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
不妨设 P(A)≤P(B)

P(AB)P(A∪B)=P(AB)[P(A)+P(B)-P(AB)]
=-[P(AB)]²+P(AB)[P(A)+P(B)]
这是关于P(AB)的二次函数，
其对称轴为
x=[P(A)+P(B)]/2
显然， P(AB)≤P(A)≤P(B)
∴ P(AB)≤[P(A)+P(B)]/2
∴ P(AB)P(A∪B)随着 P(AB) 的增大而增大，
【根据二次函数的图像与性质】
所以，当 P(AB)=P(A)时，
P(AB)P(A∪B)取得最大值，
此时 P(AB)=P(A)
P(A∪B)=P(B)
∴ P(AB)P(A∪B)≤P(A)P(B)追问

这么复杂吗？有简单一些的解法吗？

追答

没有