定积分证明题。

如题所述

推荐答案 2016-08-13

　　证明：设x=π-t，则dx=-dt，
　　∫(0,π)xf(sinx)dx=∫(0,π)(π-t)f(sint)dt=π∫(0,π)f(sint)dt-∫(0,π)tf(sint)dt，
　　∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)∫(0,π)f(sinx)dx。
　　又，∫(0,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sinx)dx+∫(π/2,π)f(sinx)dx，对后一个积分再设x=π-t，有∫(π/2,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sint)dt，∴∫(0,π)f(sinx)dx=2∫(0,π/2)f(sinx)dx。
　　∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)2∫(0,π/2)f(sinx)dx=π∫(0,π/2)f(sinx)dx。故，等式成立。
　　供参考。

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其他回答

第1个回答 2016-08-13

令t=sinx,变量代换后积分，注意上下限

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