定积分 证明题

Question

用换元的方法证明该式对于所有的实数a都成立
下面的是原题。f(x)是周期函数，T大于零。且对于所有的x都有f（x+T）=f(x).之前没说清。点太快了

Answer 1

设 a = NT + α ，则定积分的上下积分限变为 a = NT + α 和 b = （N+1）T + α 。令 t = x - NT ，将定积分化为 ∫f(t + NT)dt （定积分的积分限为 α 到 α + T）。由于 f(t)为周期函数因此定积分可进一步化为 ∫f(t)dt （定积分的积分限为 α 到 α + T）。利用定积分的性质将定积分转化为两个定积分之和 ： ∫f(t)dt （定积分的积分限为 α 到 α + T）=∫f(t)dt （定积分的积分限为 α 到 T）+ ∫f(t)dt （定积分的积分限为 T 到 α + T），利用函数的周期性可以将第二个定积分再次进行上述的变化最终得到 ∫f(t)dt （定积分的积分限为 T 到 α + T）=∫f(t)dt （定积分的积分限为 0 到 α ），再次利用定积分的性质可以将两个定积分合并为 ∫f(t)dt （定积分的积分限为 0 到 T ），到此得到最终的结论为 ∫f(t)dt （定积分的积分限为 a 到 a + T ）= ∫f(t)dt （定积分的积分限为 0 到 T ）。

Answer 2

太难写了，见下图：

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Answer 3

左边令u=a+T

Answer 4

∫[a,b]表示a为上标，b为下标

∫[a+T,a]f(x)dx=∫[0,a]f(x)dx+∫[T,0]f(x)dx+∫[a+T,T]f(x)dx

而令x=T+t,∫[a+T,T]f(x)dx=∫[a,0]f(T+t)dt=∫[a,0]f(t)dt=∫[a,0]f(x)dx

所以消去∫[0,a]f(x)dx和=∫[a,0]f(x)dx，得∫[a+T,a]f(x)dx=∫[T,0]f(x)dx

Answer 5

换元，令x=t+a，就可以了，由于网上打公式很不方便，所以我只能说出重点