已知抛物线方程，求过任意一点p(坐标已知)的抛物线切线，用方程组解。求具体步骤

Question

如题所述

Answer 1

解：设抛物线方程为f(x)=ax^2+bx+c
那么f'(x)=2ax+b
对于任意一点p（m, am^2+bm+c）,该点切线的斜率为k=f'(m)=2am+b
所以改点的切线方程为：y-(am^2+bm+c)=(2am+b)(x-m) （点斜式）追问

这是求导，我要用联立方程组的解法，用Δ=0来解K值

追答

那你就直接代入啊
y=kx+n
y=ax^2+bx+c
联立得：ax^2+bx+c=kx+n
ax^2+(b-k)x+c-n=0 (1)
Δ=(b-k)^2-4a(c-n)=0

设P(m,am^2+bm+c)
则x=m是（1）的唯一解，那么x1+x2=2m=(k-b)/2
x1*x2=m^2=(c-n)/a
解出来就可以了，根据题目看哪些参数是已知的

追问

在你的一组方程中，k未知，n未知。怎么解？

追答

实际情况中，肯定会告诉你抛物线的解析式，那么a、b、c的值是已知的。对于抛物线上的任意一点(m,am^2+bm+c)，联立的方程：ax^2+(b-k)x+c-n=0 (1)有且仅有一个实数根，即x1=x2=m，根据韦达定理：
x1+x2=2m=(k-b)/a， 即k=2am+b

x1*x2=m^2=(c-n)/a 即n=c-am^2
因为a,b,c的值已知，那么对于P，只要知道横坐标x=m,就可以写出其表达式：
y=(2am+b)x+(c-am^2)
与用导数方法球出来的一样。

追问

没太看懂。。。举个例子：抛物线方程：y=x²+2x+1
求过抛物线顶点的切线方程

追答

这个太特殊了，因为抛物线的顶点斜率一定为0，然后代入顶点坐标（-1，0）就可以求出切线:y=0。
下面举一个一般点的例子：
已知抛物线：y=x^2+2x+3，求抛物线上横坐标为x=1的点P的切线方程。
方法一：导数法求得切线方程为：y=4x+2。（过程略）
方法二：判别式法。
解：因为可以根据P在抛物线上，求得：P（1，6）
我们可以设切线方程：y=kx+b
那么显然P在切线上，可得：6=k+b
联立直线方程和抛物线方程可得：
x^2+2x+3=kx+b
即x^2+(2-k)x+3-b=0
那么由判别式△=(2-k)^2-4(3-b)=k^2-4k+4b-8=0
将b=6-k代入判别式中得：k^2-8k+16=0
解得k=4，那么b=6-k=2
所以P点切线方程为：y=4x+2
方法三：韦达定理法
解：设切线方程为y=kx+b
联立直线方程和抛物线方程可得：
x^2+2x+3=kx+b
即x^2+(2-k)x+3-b=0
因为P横坐标为x=1,所以该方程的两个解都为x1=x2=1
根据韦达定理：x1+x2=k-2=1+1=2,所以k=4
x1*x2=3-b=1*1=1 所以b=2
所以点P的切线方程为：y=4x+2
满意请好评采纳吧，谢谢~~

追问

为什么横坐标是1，方程的解x1=x2=1？

追答

因为P点是切线与抛物线的唯一交点啊，那么联立方程，这个方程解出来的解不就应该是P点的横坐标么，因为只有一个交点，所以x1=x2=1

Answer 2

设抛物线方程为f(x,y)=0
转换为二次函数，y=g(x)
求导
y‘(xp)=g'(xp)
此为斜率，根据一点一斜率，即可写出切线方程。追问

我要联立方程组的解法，求导我会