如图，设抛物线方程为 ， 为直线 上任意一点，过 引抛物线的切线，切点分别为 ． （1）求证： 三

Question

如图，设抛物线方程为 ， 为直线 上任意一点，过 引抛物线的切线，切点分别为 ． （1）求证： 三点的横坐标成等差数列；（2）已知当 点的坐标为 时， ．求此时抛物线的方程。

Answer 1

(1)根据已知条件设出点A,B的坐标，，然后借助于抛物线的导数来得到斜率值 ， ．，进而解方程，得到证明。 (2)抛物线方程为 或 ．

试题分析：（1）证明：由题意设 ． 由 得 ，得 ，所以 ， ． 因此直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ． 所以 ，①   ．② 由①减②得 ，因此 ，即 ． 所以  三点的横坐标成等差数列．              6分 （2）由（1）知，当 时，将其代入①、②并整理得： ， ， 所以 是方程 的两根， 因此 ， ， 又 ，所以 ． 由弦长公式得 ． 又0 ，所以 或 ， 因此所求抛物线方程为 或 ．    12分 点评：解决的关键是利用直线与抛物线的相切得到切线的斜率，同时联立方程组求解弦长，属于中档题。