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矩阵A可逆,为什么A的转置矩阵乘以A为正定阵.即A^TA为正定
如题所述
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推荐答案 2022-05-27
因为A可逆,所以
齐次线性方程组
Ax=0 只有零解
即对于 x≠0,必有 Ax≠0
所以 x^T (A^TA) x = (Ax)^T (Ax) > 0
故 A^TA 正定.
注:这里A应该是实矩阵
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矩阵A可逆,为什么A的转置矩阵乘以A为正定阵
。给
即A^TA为正定
答:
首先(A^TA)^T=A^TA,
即A^TA
是对称矩阵(这是前提)由于
A可逆,
可确定│A^TA│=│A│^2>0,再运用数学归纳法可得到A^TA的顺序主子式都大于0,从而
A^TA为正定矩阵
矩阵A可逆,为什么A的转置矩阵乘以A为正定阵
.给
即A^TA为正定
答:
(A^TA)^T=A^TA,
即A^TA
是对称矩阵。由于
A可逆,
可确定│A^TA│=│A│^2>0 运用数学归纳法可得到:A^TA的顺序主子式都大于0,从而
A^TA为正定矩阵
。将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ,矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。
如果
矩阵A为可逆矩阵,
那么
矩阵A的转置乘以A为正定矩阵
.
为什么
呢?
答:
要点:x^T(
A^TA
)x=||Ax||^2 接下去可以自己做了
可逆
实
矩阵
和其
转置
乘积
答:
因为任意的实正定二次型都可以通过非退化的线性替换(X=CY)化为标准型且具有唯一性(其证明过程很长,可参看《高等代数》或《线性代数》)所以任意的正定
矩阵A
都与单位矩阵E合同:即A=CEC'=CC'其中要求C是非退化的,即C为可逆实矩阵。下面证对于任意的可逆实矩阵D,DD'为正定矩阵也成立。设
A为正定
...
设
A为
n阶矩阵且r(A)=n,证明
A的转置
与A的积是
正定矩阵,
答:
设B=ATA(AT代表
A的转置
)则对任意n维向量X=(x1,x2,.,xn)T,有XTBX=(AX)TAX而记Y=AX=(y1,y2,...,yn)T也是个n维向量,那么上式就等于y1^2+y2^2+...+yn^2>=0且等号成立当且仅当y1=y2=...=yn=0.即AX=0.但r(A)=n说明
A可逆,
...
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