当矩阵A，B，AB都是N阶对称矩阵时，A,B可交换，即AB=BA。
证明： A,B,AB都是对称矩阵，即AT=A,BT=B,(AB)T=AB 于是有AB=(AB)T=(BT)(AT)=BA 当A,B可交换时，满足(A+B)^2=A^2+B^2+2AB 。
证明： A,B可交换，即AB=BA (A+B)^2 =A^2+AB+BA+B^2 =A^2+AB+AB+B^2=A^2+B^2+2AB。
扩展资料
对称矩阵的性质：
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
5.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
6.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。
7.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
8.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
AB是对称矩阵时，则AB=BA。
事实上，若A，B都为对称矩阵。则
(AB)T=BTAT=BA
因为AB是对称矩阵，所以(AB)T=AB
所以AB=BA
反之，若AB=BA
则(AB)T=(BA)T
AB=ATBT
故A=AT，B=BT
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
扩展资料：
对称矩阵的判定方法：
1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3、对角矩阵都是对称矩阵。
4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同
5、每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
6、若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。
7、一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
8、如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
9、n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
参考资料来源：百度百科-对称矩阵
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