关于微观经济学中的拉格朗日函数

Question

具体记不清当时老师怎么讲的了，看了下笔记上大概写着
函数f（X），制约函数g（X）=b，（X=x1.x2.x3.x4.......）求利润最大
列式L=f（X）+λ[b-g（X）]

现在完全搞不清这个式子的意思，求有会微观经济学的帮忙看一下式子各部分的含义和在经济学里的意义
然后想知道一下解题过程。越详细越好，感谢……

Answer 1

先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（X）=b时f(X)的最值。

下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：

假设f(X)是效用函数，g（X）=b是成本约束，为了简便X=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。

那等式L=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：

对L求x和λ的一阶偏导，得到：

1.dL/dx=f'(x)+λg'(x)=0

2. dL/dλ=b-g(x)=0

第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。

等式1变形得

3. λ=f'(x)/g'(x)

λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g'(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f'(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。

这时因为X是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。

现在变成二元的，X=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:

dL/dx=0

dL/dy=0

dL/dλ=0

三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。

当X上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。

扩展资料：

拉格朗日函数是在力学系上只有保守力的作用，是描述整个物理系统的动力状态的函数。

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程表示为其中，  为拉格朗日量，  为动能，  为势能。

在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。

分析力学方面

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对於一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能。

力学方面

在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。

微观经济学的历史渊源可追溯到亚当·斯密的《国富论》，阿尔弗雷德·马歇尔的《经济学原理》。20世纪30年代以后，英国的罗宾逊和美国的张伯伦在马歇尔的均衡价格理论的基础上，提出了厂商均衡理论。标志着微观经济学体系的最终确立它的体系主要包括：均衡价格理论，消费经济学，生产力经济学，厂商均衡理论和福利经济学等。

微观经济学的发展，迄今为止大体上经历了四个阶段：

第一阶段：17世纪中期到19世纪中期，是早期微观经济学阶段，或者说是微观经济学的萌芽阶段。

第二阶段：19世纪晚期到20世纪初叶，是新古典经济学阶段，也是微观经济学的奠定阶段。

第三阶段：20世纪30年代到60年代，是微观经济学的完成阶段。

第四阶段：20世纪60年代至今，是微观经济学的进一步发展、扩充和演变阶段。

通观微观经济学的发展过程与全部理论，始终围绕着价格这一核心问题进行分析，所以微观经济学在很多场合又被称为“价格理论及其应用”。

参考资料：百度百科-拉格朗日函数

Answer 2

先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（X）=b时f(X)的最值。
下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：
假设f(X)是效用函数，g（X）=b是成本约束，为了简便X=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。
那等式L=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：
对L求x和λ的一阶偏导，得到：
1. dL/dx=f'(x)+λg'(x)=0
2. dL/dλ=b-g(x)=0
第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。
等式1变形得
3. λ=f'(x)/g'(x)
λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g'(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f'(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。
这时因为X是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。

现在变成二元的，X=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:
dL/dx=0
dL/dy=0
dL/dλ=0
三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。
当X上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。
至于b的元数...你遇到更高元的限制条件再问吧...本回答被提问者和网友采纳