第1个回答 2019-09-08
先说用法吧,拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的,这里限制条件就是制约函数,求得就是在满足g(x)=b时f(x)的最值。
下面说具体内容,举个栗子比较容易讲:
假设f(x)是效用函数,g(x)=b是成本约束,为了简便x=x好了(只有一个约束),另外假设x的价格为p,后面会用到。
那等式l=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大,答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光,剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用,也就是b每增加1各单位,效用就会增加λ那么多。证明如下:
对l求x和λ的一阶偏导,得到:
1.
dl/dx=f'(x)+λg'(x)=0
2.
dl/dλ=b-g(x)=0
第2个等式就是制约条件,意思就是预算被花光(因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的)。
等式1变形得
3.
λ=f'(x)/g'(x)
λ的定义就出来了,也就是当b每增加1个单位,g'(x)=1/p,就是花在x上的钱多了1,同时买了1/p那么多的x,这时λ=f'(x)/p,就是1单位收入带来的额外效用。
这时因为x是一元的所以最值不用另外求,就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。
现在变成二元的,x=(x,y),g(.)依旧是成本,f(.)还是效用,但这时λ还是一样的意义,只不过一阶偏导变成了3个:
dl/dx=0
...展开先说用法吧,拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的,这里限制条件就是制约函数,求得就是在满足g(x)=b时f(x)的最值。
下面说具体内容,举个栗子比较容易讲:
假设f(x)是效用函数,g(x)=b是成本约束,为了简便x=x好了(只有一个约束),另外假设x的价格为p,后面会用到。
那等式l=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大,答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光,剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用,也就是b每增加1各单位,效用就会增加λ那么多。证明如下:
对l求x和λ的一阶偏导,得到:
1.
dl/dx=f'(x)+λg'(x)=0
2.
dl/dλ=b-g(x)=0
第2个等式就是制约条件,意思就是预算被花光(因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的)。
等式1变形得
3.
λ=f'(x)/g'(x)
λ的定义就出来了,也就是当b每增加1个单位,g'(x)=1/p,就是花在x上的钱多了1,同时买了1/p那么多的x,这时λ=f'(x)/p,就是1单位收入带来的额外效用。
这时因为x是一元的所以最值不用另外求,就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。
现在变成二元的,x=(x,y),g(.)依旧是成本,f(.)还是效用,但这时λ还是一样的意义,只不过一阶偏导变成了3个:
dl/dx=0
dl/dy=0
dl/dλ=0
三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。
当x上升为n元时,也就意味着要同时考虑n个条件,就像是同时用b购买有n种商品,要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了,解法还是一样的。
至于b的元数...你遇到更高元的限制条件再问吧...收起