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ab=0,r(a)+r(b)≤n
A,B
均为n阶矩阵,
AB=0,
则
r(A)+r(B)≤n
.
答:
【答案】:[例] 设,,易知r(A)=1,r(B)=1
,r(A)+r(B)
=2<3,但
AB
≠0.$[例] 设,,则
A+
B
=0,
而 r(A)+r(B)=4≥2.
设
A,B
都是n阶方阵,且
AB=0,
证明
r(A)+r(B)
<=
n
答:
由
AB=0
得知B的列向量,都是方程组AX=0的解 则B列向量组的秩,不大于方程组AX=0的基础解系的个数,即n-r(A)即r(B)<= n-r(A)因此
r(A)+r(B)
<=
n
矩阵中,
AB=0
为什么能推出
r(A)+r(B)
<=
n
呢
答:
如果
AB=0
,那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。设r(A)=r,那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解,所以:r(B)<=n-r=n-r(A)。因此,r(A)+r(B)<=n。线性无关一般是指向量的线性独立,指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。
如何证明
AB=
O,则
r(A)+r(B)≤n
答:
证明:
AB
与n阶单位矩阵En构造分块矩阵 |AB O| |O En| A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有 |AB A| |0 En| 右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有 |0 A | |-B En| 所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)即r(A)+r(B)-n<=r(AB)...
线性代数:
AB=0,r(A)+r(B)
<=
n
,请问此式何时取“=”?
答:
如果矩阵B的列向量组中含有方程组AX
=0
的一个基础解系,则上述等式成立。事实上,若矩阵A的秩为r,则方程组的基础解系中含有n-r个解向量,当矩阵B的列向量组中含有AX=0的一个基础解系时,矩阵B的秩就是n-r。此时
,r(A)
=r,r(B)=
n
-r 所以
r(A)+r(B)
=n。
求解
AB=0
r(A)+r(B)
<=
n
的证明
答:
AB=0
r(A)+r(B)
<=
n
的证明如下:这里与齐次线性方程的基础解系有关
AB=0,
则说明B的列向量都是AX=0的解 因此B的列向量是AX=0解集的子集 则B列向量组的秩,不大于方程组AX=0的基础解系的个数,即n-r(A)即r(B)<= n-r(A)因此:r(A)+r(B)<=n ...
设
A,B
为n阶方阵,且
AB=0,
证明:
R(A)+R(B)
小于等于n
答:
因为
AB=0,
所以矩阵B的列向量都是线性方程组AX=0的解;则矩阵B的列向量组的秩,不大于方程组AX=0的基础解系的个数,也就是说矩阵B的列向量组可以由AX=0 的基础解系线性表示,所以R(B) <= n-R(A),故
R(A)+R(B)
小于等于n。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大...
求助:
AB=0,
证明
r(A)+r(B)
小于或等于N
答:
解:方法1)用秩的不等式
r(a)+r(b)
-n<= r(ab)因为
ab=0,
所以r(ab)=0 r(a)+r(b)<=
n
方法2)令b中任意列向量为(x1,x2,...,xn)^t,
a=
(a1,a2,...,an),则 b可由齐次线性方程组ax=o的基础解系任意组合
,r(
b)<= 基础解系中解的个数<=n-r(a),即r(a)+r(b)<=n....
线性代数中
AB=0
得到
R(A)+R(B)≤n
(都是n阶矩阵)
答:
齐次线性方程组Ax=0的基础解系有n-r(A)个解。而B的每一个列向量都满足Ax
=0,
所以如果B有r(B)个线性无关的列向量,那么这r(B)个列向量都是Ax=0基础解系中的元素,所以有r(B)≤n-r(A),也就是
r(A)+r(B)≤n
。
设A为M×
N
矩阵
,B
为N×S矩阵,若
AB=
O,则
r(A)+r(B)
≦N
视频时间 22:44
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