矩阵相乘中 AB=BA成立的条件？

Question

如题所述

Answer 1

据我所知AB=BA并没有什么本质不同的充要条件。
当然，有一个必要条件是A和B在(其代数闭包内)可以同时相似上三角化。

楼上的讲法显然是错误的，比如取A是单位阵，B是非退化Jordan块。追问

555我刚学线代一个月啊 不懂什么是你们说的那些。。。麻烦你能不能用比较初级的知识讲解。。？
我是由一道让证明（A+B）（A-B）的充要条件是AB=BA的题联想到的

如果把我弄懂了一定加分 谢谢了哈！

追答

你的题目应该是(A+B)(A-B)=A^2-B^2 AB=BA吧，这个直接展开验证，没什么难度。
继续联想是好习惯，但是目前为止AB=BA应该没有什么好的充要条件，至少我从来没见到过，所以对你来讲这个问题可以到此为止了，不用再去找AB=BA的充要条件。

追问

我就是觉得直接展开证就跟说废话一样没用。。。。那好吧　谢谢你了

Answer 2

充要条件是A B可以被同一可逆矩阵对角化追问

。。。。神马对角化 貌似木有学诶~ 是不是AB均为n阶方阵？

追答

A和B如果不是方阵的话乘出来的矩阵阶数不同，更没法说相等
A和B如果是方阵的话就是上面说的条件。如果没学对角化这个结论现在没法理解。也没有必要记，用处不大。

追问

可是我觉得我做题的时候这个问题经常困扰我诶 比如说 A，B均为对称矩阵时 求AB也对称的条件就遇到了AB=ＢA啊　　　　　　　　　　　　　　　　是不是说遇到这种题　最后只要说AB＝BA就可以了　　可是我怎么都觉得这样说了等于没说啊