什么情况下矩阵AB= BA？

Question

如题所述

Answer 1

在线性代数中，矩阵AB = BA 的情况是两个矩阵的乘积可以满足交换律。下面是一些情况下矩阵AB = BA 成立的常见情况：
单位矩阵：单位矩阵是一个特殊的方阵，其主对角线上的元素都是1，其他元素都是0。任何一个矩阵与单位矩阵的乘积满足交换律，即A·I = I·A，其中I表示单位矩阵。
对角矩阵的交换：如果两个对角矩阵的元素满足交换关系，则它们的乘积也满足交换律。例如，若A和B都是对角矩阵，且A的对角元素按照升序排列，B的对角元素按照降序排列，则AB = BA。
交换子：若两个矩阵A和B的交换子[A， B] = AB - BA等于零矩阵，则矩阵AB = BA。例如，当A和B是具有相同特征向量的对角矩阵时，[A， B] = AB - BA = 0。
可交换的特殊矩阵：某些特殊的矩阵，如对称矩阵、反对称矩阵、零矩阵等，与其他矩阵相乘可能满足交换律。例如，两个对称矩阵的乘积也是对称矩阵，故满足交换律。
需要注意的是，大多数矩阵并不满足AB = BA的关系，这种情况下，矩阵的乘积是不可交换的。矩阵乘法不满足交换律是线性代数的基本性质之一，因此通常需要小心处理矩阵的顺序。只有在特定情况下，才能满足矩阵乘法的交换律。