上三角矩阵的特征值为什么是对角线元素？

Question

上三角矩阵的特征值为什么是对角线元素？

Answer 1

特征多项式f(a)=|aE-A|，f(a)=0的根即为特征值

对于上（下）三角阵

右边的行列式恰好是f(a)=（a-a11）(a-a22)...(a-ann)

所以特征值自然就是对角线元素

上三角矩阵的行列式为对角线元素相乘；上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵；上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵；上三角矩阵的逆矩阵也仍然是上三角矩阵。

扩展资料：

n阶矩阵A 相似于对角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征。

n阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是对每一个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数。

参考资料来源：百度百科--主对角线

参考资料来源：百度百科--上三角矩阵

Answer 2

设n阶上三角方阵A,其特征值为λ
根据矩阵的特征值的计算公式有
|A-λE|=0
则有:
|a11-λ a12 a13 ……………… a1n|
| a22-λ a23 a24 ……… a2n|
| a33-λ ………………… a3n|=0
|…………………………………… |
| an-λ |
===>(a11-λ)*(a22-λ)*(a33-λ)*……*(an-λ)=0
===>λi=aii
===>上三角矩阵的特征值是对角线元素本回答被提问者采纳