已知a+b=4 (a大于0b大于零)根号下a^2+1加根号下b^2+4的最小值？

Question

如题所述

Answer 1

谢谢你提的问题，这个问题很好，它引发了我的思考。以下是我对于这个问题的思考与理解，供你参考：

为了求解这个问题，我们可以使用柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）。不等式表示如下：

(Σx_i^2)(Σy_i^2) ≥ (Σx_iy_i)^2

我们令 x_i^2 = a 和 y_i^2 = b，那么 x_1 = √a, x_2 = √b, y_1 = 1, y_2 = 4。将这些值代入柯西-施瓦茨不等式中，我们得到：

(√a + 2√b)^2 ≤ (a + 4b)(1 + 4)

然后，我们已知 a + b = 4，所以 b = 4 - a。将这个结果代入上面的不等式中，我们得到：

(√a + 2√(4 - a))^2 ≤ (a + 4(4 - a))(5)

简化得：

(√a + 2√(4 - a))^2 ≤ 20a - 60

现在，我们的目标是找到 (√a + 2√(4 - a)) 的最小值。注意到 (√a + 2√(4 - a))^2 是非负的，我们可以得到：

(√a + 2√(4 - a))^2 ≥ 0

现在，我们已经找到了一个下界和一个上界，我们可以通过比较两者来找到 (√a + 2√(4 - a)) 的最小值。当且仅当 (√a + 2√(4 - a))^2 = 20a - 60 时， (√a + 2√(4 - a)) 取到最小值。这时我们得到：

20a - 60 = (√a + 2√(4 - a))^2

通过解这个方程，我们可以得到 a = 3/2，b = 5/2。因此，当 a = 3/2 且 b = 5/2 时，根号下 a^2 + 1 加根号下 b^2 + 4 的最小值为：

√(a^2 + 1) + √(b^2 + 4) = √((3/2)^2 + 1) + √((5/2)^2 + 4) ≈ 3.414

供参考，望笑纳！

Answer 2

首先，我们可以通过观察发现，根号下 a^2 + 1 和根号下 b^2 + 4 两个式子中，只有 a 和 b 两个变量，并且它们之间没有任何直接的关系。因此，我们可以将这两个式子分别看作关于 a 和 b 的函数，而问题就转化为了寻找函数的最小值。
设根号下 a^2 + 1 的函数为 f(a)，根号下 b^2 + 4 的函数为 g(b)，则有：
f(a) = 根号下 a^2 + 1
g(b) = 根号下 b^2 + 4
要求 f(a) + g(b) 的最小值，可以使用求导的方法。具体来说，我们需要对 f(a) 和 g(b) 分别求导，并令其等于 0，得到 a 和 b 的取值，进而计算出 f(a) 和 g(b) 的最小值。
对于 f(a)，有：
f'(a) = a / (根号下 a^2 + 1)
令 f'(a) = 0，解得 a = 0，这是因为根据题目中的条件，a 大于 0，因此此时 f(a) 的取值最小，即：
f(0) = 1
对于 g(b)，有：
g'(b) = b / (根号下 b^2 + 4)
令 g'(b) = 0，解得 b = 0，这是因为根据题目中的条件，b 大于 0，因此此时 g(b) 的取值最小，即：
g(0) = 2
因此，f(a) + g(b) 的最小值为 1 + 2 = 3。本回答被网友采纳