整数a、b满足a+b=2，求根号下（a平方+1）+根号下（b平方+4）的最小值。

Question

如题所述

Answer 1

整数a、b满足a+b=2，求√(a²+1)+√(b²+4)的最小值。
解：∵a，b是整数，且a+b=2，∴当a=b=1时，√(a²+1)+√(b²+4)的值最小，最小值为2+√2≈3.41追问

打错了，a、b为正数……

追答

∵a+b=2，∴a=2-b，代入原式得：
u=√(a²+1)+√(b²+4)=√[(2-b)²+1]+√(b²+4)=√(b²-4b+5)+√(b²+4)
令du/db=(b-2)/√(b²-4b+5)+b/√(b²+4)=0
得(b-2)√(b²+4)+b√(b²-4b+5)=0
b√(b²-4b+5)=(2-b)√(b²+4)
b²(b²-4b+5)=(4-4b+b²)(b²+4)
b⁴-4b³+5b²=b⁴-4b³+8b²-16b+16
3b²-16b+16=(3b-4)(b-4)=0
故得驻点b₁=4/3；b₂=4(舍去，因为a，b都是正数，若b=4，则a=-2，不合题意，故舍去）
当b=4/3时，a=2-4/3=2/3，umin=√(4/9+1)+√(16/9+4)=(√13)/3+(√52)/3
=(√13+2√13)/3=√13≈3.60551276....
注：第一次的解答有错！应修改为：
∵a，b是整数，且a+b=2，∴当a=b=1时，√(a²+1)+√(b²+4)的值最小，最小值为
√2+√5≈3.6502154......

Answer 2

当满足根号下（a平方+1）=根号下（b平方+4）时，其加和最小，此时a^2+1=b^2+4，又因为a+b=2，所以求得a=7/4,b=1/4，最后的最小值为根号下(65/4)

Answer 3

根号下2+根号下5