初中数学题：如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F

Question

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

求第三问就好了，前面两问没有问题，谢谢

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠DAB=12∠BAC=30°，
∵△AED是等边三角形，
∴AD=AE，∠ADE=60°，
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°，
∵ED∥CF，
∴∠FCB=∠EDB=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠BAD=30°，
又∵∠B=∠FAC=60°，AB=CA，
∴△ABD≌△CAF，
∴AD=CF，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；

（3）解：成立．
理由如下：∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=60°-∠FCB，=60°-∠EDB，
∴∠ACF=∠BAD，
又∵∠B=∠FAC=60°，AB=CA，
∴△ABD≌△CAF，
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=DC．
（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）根据ED∥FC，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC

Answer 2

(1)
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE

设EN与BC交点为P，连结NF
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形
∴∠MDN=∠BDF＝60°
∴∠MDN－∠BDN =∠BDF－∠BDN
即∠MDB=∠NDF
在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF
∴△DMB≌△DNF
∴∠DBM=∠DFN
∵∠ABC =60°
∴∠DBM =120°
∴∠NFD =120°
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°
∴N、F、E三点共线
∴F与P重合
∴F在直线NE上

(2)
成立
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°
∠NDE+∠FDN=60°
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE

（3）解：成立．
理由如下：∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=60°-∠FCB，=60°-∠EDB，
∴∠ACF=∠BAD，
又∵∠B=∠FAC=60°，AB=CA，
∴△ABD≌△CAF，
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=DC．
（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）根据ED∥FC，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC

Answer 3

(1)
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE

设EN与BC交点为P，连结NF
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形
∴∠MDN=∠BDF＝60°
∴∠MDN－∠BDN =∠BDF－∠BDN
即∠MDB=∠NDF
在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF
∴△DMB≌△DNF
∴∠DBM=∠DFN
∵∠ABC =60°
∴∠DBM =120°
∴∠NFD =120°
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°
∴N、F、E三点共线
∴F与P重合
∴F在直线NE上

(2)
成立
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°
∠NDE+∠FDN=60°
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE

（3） MF=NE仍成立

Answer 4

解：（1）（2）略
（3）EF=CD仍然成立
∵CF∥DE
∴∠ EDB=∠FCB
∵∠AFC=∠B+∠FCB=60°+∠FCB
∠BDA=∠EDA+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠ AFC= ∠BDA
又∠B=∠FAC=60°
∴⊿BDA ≌⊿AFC
∴FC=AD=ED
∴FC//且=AD
四边形CDEF是平行四边形
EF=CD

Answer 5

任然成立，始终证明四边形DEFC为平行四边形。