过抛物线y2=2px上的两点A、B分别引抛物线的切线，其交点恰在抛物线的准线上

Question

过抛物线y2=2px上的两点A、B分别引抛物线的切线，其交点恰在抛物线的准线上，求证直线AB经过抛物线的焦点

Answer 1

准线: x = -p/2
设切点为A(a²/(2p), a), B(b²/(2p), b)
y² = 2px对x求导: 2yy' = 2p, y' = p/y
过A, B的切线斜率分别为p/a, p/b
过A, B的切线方程分别为:
y - a = (p/a)[x - a²/(2p)]
y - b = (p/a)[x - b²/(2p)]
消去y并取x = -p/2, 得p² = -ab (i)
AB的方程: (y - b)/(a - b)=[x - b²/(2p)]/[a²/(2p) - b²/(2p)]
(a + b)y = 2px + ab = 2px - p² = 2p(x - p/2)
直线AB经过抛物线的焦点(p/2, 0)