求问抛物线焦点弦三角形面积公式是怎么推导的？

Question

求问抛物线焦点弦三角形面积公式是怎么推导的？还有x1*x2＝p²/4和y1*y2＝-p²都是怎么得来的？

Answer 1

具体回答如图：

焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。焦点弦长就是这两个 焦半径长之和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c，是焦准距， e是离心率。

令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|= 。易知当且仅当 时取|CD|最小值2a。（配极理论的原则）. 若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P。

扩展资料：

过双曲线(a>0,b>0)焦点F的直线交双曲线于A、B两点，记p=c-a^2/c，是焦准距。若A、B两点在双曲线的同一支上，此时称AB为双曲线的同支焦点弦。若A、B两点分别位于双曲线的左支和右支上，此时称AB为双曲线的异支焦点弦。

通过一点P而且与一个常态二次曲线相切的直线它的切点在点P的极线上。椭圆、双曲线、抛物线焦点的极线是相应的准线。如果椭圆、双曲线、抛物线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点。

这是因为，焦点的极线是相应准线（定理3），又交点在准线上，准线上的点的极线就必过焦点（定理1），而定理2又告诉我们这条过焦点的极线恰好经过两切点。

参考资料来源：百度百科--焦点弦

Answer 2

答：抛物线标准方程为：x^2=2py.....(1);  弦的直线方程为：y=kx+b......(2); 将(2)代入(1)中，得：x^2-2p(kx+b)=x^2-2pkx+(pk)^2-(pk)^2-2pb=(x-pk)^2-{√[(pk)^2-2pb]}^2                 ={x-pk+√[(pk)^2-2pb]}{x-pk-√[(pk)^2-2pb]}=0;  x1,2=pk+/-√[(pk)^2-2pb]; 将x1,2代入(2),得：y1,2=k*x1,2+b; 焦点坐标F(0,p/2); 弦与抛物线的交点A(x2,y2), B(x1,y1);见下图。三角形ABF的面积S=S梯abdc-S△acf-S△bfd=(AC+BD)*CD/2-CF*AC/2-FD*BD/2

={(y1-p/2+y2-p/2)*(x2-p/2)-[(0-x2)*(y2-p/2)]-[x1*(y1-p/2)]}/2。代入x1,2,y1,2计算你自己 来完成。    

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Answer 3

如图，以抛物线y²=2px ①为例，设直线AB方程为y=tanθ（x-p/2） ②

联立①②消去x得：y₁+y₂=2p/tanθ,    y₁y₂=-p²

Sabo=1/2·|OF|·|y₁-y₂|

        =1/2·p/2·√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]        （[ ]这个符号内的东西是在根号下的意思）

       （偷点懒省略一点，反正很简单）

        =p²/2tanθ√[1+tan²θ]

        =p²/2tanθ√[1/cos²θ]

        =p²/2sinθ