四边形内接于园，对角线AC BD 交于点E，点F在AC,上AB=CD,角BFC=角BAD=2角DF
四边形内接于园，对角线AC BD 交于点E，点F在AC,上AB=CD,角BFC=角BAD=2角DFC,求证：CD是否与DF垂直，并判断BC与CD直接数量关系。
郭敦顒回答：
从图上看应是AB=AD，非“AB=CD”，以此为准进行回答——
∵∠BFC=∠BAD=2∠DFC，∠DFC∠BFC/2，
作AP⊥BD垂足为G，交圆于P，则AP为直径，
过F作MN⊥BC垂足为K，∠FCK=90°，BK=CK，2CK=BC，交圆于M，N，N平分B⌒C，则MN为直径，
AP与MN交于圆心O，
∴∠CFK=∠BFC/2=∠DFC，
又∵AB=AD，∴A⌒B=A⌒D∴∠ACB=∠ACD（等弧的圆周角），
∵∠FCK=∠ACB，∠FCD=∠ACD（同角）
∴∠FCK=∠FCD，
∴在△FKC与△FDC中，∠FKC=∠FDC（在两个△，两角对应相等，则第三角相等），
又∵∠FCK=90°，∴∠FDC=90°，
∴BC⊥CD。
判断BC与CD直接数量关系。
∵在Rt⊿FKC与Rt⊿FDC中，FC为公共斜边，
∴Rt⊿FKC≌Rt⊿FDC，∴CK=CD，
又∵2CK=BC，
∴BC=2CD。
从图上看应是AB=AD，非“AB=CD”，以此为准进行回答——
∵∠BFC=∠BAD=2∠DFC，∠DFC∠BFC/2，
作AP⊥BD垂足为G，交圆于P，则AP为直径，
过F作MN⊥BC垂足为K，∠FCK=90°，BK=CK，2CK=BC，交圆于M，N，N平分B⌒C，则MN为直径，
AP与MN交于圆心O，
∴∠CFK=∠BFC/2=∠DFC，
又∵AB=AD，∴A⌒B=A⌒D∴∠ACB=∠ACD（等弧的圆周角），
∵∠FCK=∠ACB，∠FCD=∠ACD（同角）
∴∠FCK=∠FCD，
∴在△FKC与△FDC中，∠FKC=∠FDC（在两个△，两角对应相等，则第三角相等），
又∵∠FCK=90°，∴∠FDC=90°，
∴BC⊥CD。
判断BC与CD直接数量关系。
∵在Rt⊿FKC与Rt⊿FDC中，FC为公共斜边，
∴Rt⊿FKC≌Rt⊿FDC，∴CK=CD，
又∵2CK=BC，
∴BC=2CD。
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第1个回答 2013-12-13
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