因为矩阵A与B等价的充要条件是A可以经过有限次的初等行变换与有限次的初等列变换化为B,所以只需说明PAQ=B与经过有限次的初等行列变换把A化为B是一回事。
事实上,P可逆⇔P可以写成有限个初等矩阵的乘积:P=E1E2…Ei;同样Q可逆⇔Q可写成有限个初等矩阵的乘积:Q=F1F2…Fj.这样
PAQ=B ⇔ (E1E2…Ei)A(F1F2…Fj)=B. ①
而矩阵A左乘一个初等矩阵E,相当于对A实施一次初等行变换;A右乘一个初等矩阵F,相当于对A实施一次列变换,所以①的后半部分恰恰说明:A经过i次初等行变换和j次初等列变换化成了B。
故按开头所述,A与B等价⇔PAQ=B.
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考