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大一高数 数列极限题一道 请教高手
若数列Un的极限是a,证明数列|Un|的极限是|a|,并举例说明,数列|Un|收敛时,数列Un未必收敛。
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推荐答案 2010-01-18
证明:∵limUn=a
∴对任意§>0,存在N。>0,当n>N。时,|Un-a|<§
∴对上述§>0,存在N=N。,当n>N时,||Un|-|a||≤|Un-a|<§
∴lim|Un|=|a|
举例:如Xn=(-1)^n(n-1)/(n+1) 则|Xn|=(n-1)/(n+1)
∴lim|Un|=1,而数列limUn不存在
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其他回答
第1个回答 2010-01-18
对于任意小的正数ε,由Un的极限是a,则存在正整数N,n>N时,|Un-a|<ε. 因为||Un|-|a||≤|Un-a|,所以n>N时,||Un|-|a||<ε.
所以,|UN|的极限是|a|.
反之结论不成立,例如设Un是数列1,-1,1,-1,1,-1,...。|Un|=1,收敛,而Un发散
第2个回答 2010-01-18
我简单写一下
数列Un的极限是a,故|Un-a|<e
而||Un|-|a||<=|Un-a|<e
故数列|Un|的极限是|a|
反例Un=(-1)^n
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