r(ab)<= r(a) r(b)吗？

Question

如题所述

Answer 1

楼主说的应该是r（AB）<=min(r(A),r(B))
证明很简单，但是方法很重要
设AB=C，将矩阵B分块为B=(b1,b2,,,,,,bs) ，C分块为C=（c1,c2,,,,,cs）
则AB=(Ab1,Ab2,,,,,,Abs) = （c1,c2,,,,,cs）
即 Abi=ci 其中i=1,2，，，，s
可知矩阵C的第i个列向量均是由矩阵A的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。
既然C可以有矩阵A线性表示，即r（C）<=r(A)
同理对B进行行分块也可证明