如何证明特征值对应的特征向量小于等于k个？

Question

如题所述

Answer 1

首先早知道特征向量怎么来的，易知k重特征值η对应线性无关特征向量个数ξ=n-r(ηE-A)，其中n是A方阵阶数，非方阵无特征值。对于方阵λE-A通过初等行列变换一定可化成
/ λ-λ1___a____b ... s \
| ______λ-λ2___c ... g |
| ______... ___________|
\ ______________λ-λn /(上三角)
所以k重特征根最多将还矩阵秩减少k，当矩阵中开头是λ-λs的这一排右边的数全为零时，将该矩阵的秩减少k，不全为零则减少秩数不足k，所以r(ηE-A)≥n-k，ξ=n-r(ηE-A)≤n-n+k＝k, 所以k重特征值η对应线性无关特征向量个数ξ小于等于k。