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K重特征值对应的线性无关的特征向量小于等于K?可以给证明吗
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第1个回答 2022-08-21
设该矩阵为A,比如t为特征值,
K重特征值的定义是什么,就是该矩阵的特征多项式含有根t的重数为K.
设t为K重特征值,设t对应的线性无关的特征向量个数为m,那么以这m个向量延拓成为线性空间的一组基,那么可以得到在该组基下的特征多项式为(x-t)^mg(x),g(x)为一个多项式,从而A关于特征值t的重数>=m,即K>=m.
记住关键是特征多项式在相似的意义下保持不变,且注意任意线性无关的向量,可以延拓成一组基.
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如何
证明特征值对应的特征向量小于等于k
个?
答:
所以k重特征根最多将还矩阵秩减少k,当矩阵中开头是λ-λs的这一排右边的数全为零时,将该矩阵的秩减少k,不全为零则减少秩数不足k,所以r(ηE-A)≥n-k,ξ=n-r(ηE-A)≤n-n+k=k, 所以
k重特征值
η
对应线性无关特征向量
个数ξ
小于等于k
。
若λ为A的
k重特征值
,则
对应
于特征 值λ
的线性无关特征向量
的个数
小于
...
答:
A的所有特征根共n个,A为n阶矩阵,那么它的特征根共n个(k重根算k个).而A
的特征向量
为n维向量,可以用n个基表出.若应于
特征值
λ
的线性无关
特征向量的个数=k+1,那么对于可逆阵A,其所有线性无关特征向量的个数之和>n,显然矛盾.(我只是用可逆阵做例子,有这样一个定理:R(A)=A的所有线性无...
证明
:实对称矩阵的
k重特征值
恰有k个
线性无关的特征向量
答:
定理1:
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不会有超过k个
线性无关的特征向量
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K重特征值
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线性
代数
的特征
根和
特征向量
的问题
答:
不能
。证明:假设a是A的k重特征值,但它对应的线性无关的特征向量有k+1个,则(aE-A)x=0的基础解系有k+1个线性无关的解向量,即(aE-A)X1+(aE-A)X2+...+(aE-A)Xk+(aE-A)Xk+1=0,所以A有k+1个特征值是a,即a是A的k+1重特征值,与假设矛盾,所以若λ0是k重根,则它对应的...
为什么矩阵的
K重特征值
至多有K个
线性无关的特征向量
答:
为什么矩阵的
K重特征值
至多有K个
线性无关的特征向量?
若当标准型这些东西的
证明
呢,要用到-矩阵之类的工具,比较复杂。要简单来证这个定理呢,可以用这样的思路:给定某个矩阵 现在要证,如果它有一个
k重特征值
, 那么它的特征子空间维数不超过k,也就是要证,假如对于某个特征值, 它的特征子空间的...
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