线性代数，特征值&特征向量的几个菜问题

Question

1.不同特征值所对应的所有特征向量放到一起，如果都不相等，是不是都不相关？其中每个特征值对应n-r（A-λE）个无关特征向量？
2.如果这样的话，无关特征向量个数是不是可能出现大于n的情况？
3.有性质“当λi是A的k重特征值时，A属于λi的线性无关的特征向量的个数不超过k个”，λi的无关向量个数不是=n-r（A-λi.E）？为什么不能超过K个？

我菜，请尽量通俗，谢谢了！！！

Answer 1

1、特征值不同=>特征向量无关。k重特征值对应小于等于k个线性无关的特征向量。
2、由1可以推出，无关特征向量个数不可能大于n，而是小于等于n。
3、如果λi为A的k重特征值，因为 n-r(A-λi.E) ≤ k，所以 λi 的无关向量个数 m ≤ n-r(A-λi.E)。

Answer 2

1.不同特征值所对应的所有特征向量一定线性无关，每个特征值不一定对应n-r（A-λE）个无关特征向量，只有当一个矩阵可对角化得时候，上面那句话才能成立。
2.不会大于n，应该是小于等于n。
3.λi的无关向量个数是=n-r（A-λi.E），但n-r(A-λi.E)≤k.本回答被网友采纳